Tìm số nguyên dương x để 3^x + 171 là một số chính phương.

Đặt 3^x + 171 = y²

Do 171 chia hết cho 3; 3^x chia hết cho 3 ⇒ y chia hết cho 3 

⇒ y² chia hết cho 9

Mà 171 cũng chia hết cho 9 

⇒ 3^x cũng phải chia hết cho 9 

⇒ x là số chẵn.

Đặt x = 2a; y = 3b với a, b nguyên dương

3^2a + 171 = (3b)²

⇔ 3^2a-2 + 19 = b²

⇔ b² - 3^2a-2 = 19

⇔ (b – 3^a-1)(b + 3^a-1) = 19*

Do b + 3^a-1 > b - 3^a-1 với mọi a, b nguyên dương nên b - 3^a-1 = 1; b + 3^a-1 = 19

Suy ra: b = 10; 3^a-1 = 9

Khi đó: x = 6; y = 30.

Vậy (x; y) = (6; 30).