Tìm số nghiệm nguyên không âm, số nghiệm dương của phương trình x + y + z = 100.

* Xét phương trình x + y + z = n (*)

Số nghiệm nguyên không âm của (*) tương đương với số nghiệm nguyên dương của x' + y' + z' = n + 3 là Cn2 (bài toán chia kẹo Euler)

Ở đây n = 100 nên số nghiệm nguyên không âm là C1022

* Xét bài toán chia kẹo Euler, ta có: Số nghiệm nguyên dương cần tìm của phương trình x₁ + x₂ + ⋯+ x_t = k là số cách chia k chiếc kẹo cho t đứa trẻ sao cho ai cũng có kẹo.

Xếp k chiếc kẹo thành 1 hàng ngang

⇒ giữa chúng có k-1 chỗ trống. Số cách chia kẹo thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách đặt t - 1 “vách ngăn” vào t - 1 chỗ trống trong số k - 1 chỗ trống nói trên.

⇒ có Ck−1t−1 cách chia.

Với bài toán trên, ta có k = 100 và t = 3 nên số nghiệm nguyên dương là C992.