Tìm số hạng thứ 7 của cấp số nhân (un) có công bội q là số nguyên và { u3 + u5 = 90 u2 - u6 = 240 }.

Biểu diễn các số hạng qua \({u_1}\) và công bội \(q\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}{q^2} + {u_1}{q^4} = 90}\\{{u_1}q - {u_1}{q^5} = 240}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2}\left( {1 + {q^2}} \right) = 90\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_1}q\left( {1 - {q^4}} \right) = 240\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lập tỉ số giữa \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) (với \({u_1} \ne 0\) và \(q \ne 0\)):

\(\frac{{{u_1}q\left( {1 - {q^4}} \right)}}{{{u_1}{q^2}\left( {1 + {q^2}} \right)}} = \frac{{240}}{{90}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 - {q^2}}}{q} = \frac{8}{3}\)\( \Rightarrow 3\left( {1 - {q^2}} \right) = 8q\)\( \Leftrightarrow 3 - 3{q^2} = 8q\)\( \Leftrightarrow 3{q^2} + 8q - 3 = 0\).

Giải phương trình bậc hai theo \(q\) ta được \(q = \frac{1}{3}\) và \(q = - 3\).

Vì \(q\) là số nguyên, ta nhận \(q = - 3\).

Thay \(q = - 3\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \({u_1} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} \cdot \left( {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right) = 90 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).

Số hạng thứ 7 của cấp số nhân là: \({u_7} = {u_1} \cdot {q^6} = 1 \cdot {\left( { - 3} \right)^6} = 729\).