Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x-2/x)^n, n thuộc N*, biết

37/50

Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^n},n \in {\mathbb{N}^*}\) biết \(C_n^1 - 2.2.C_n^2 + {3.2^2}.C_n^3 - {4.2^3}.C_n^4 + {5.2^4}C_n^5 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}.n{.2^{n - 1}}C_n^n = - 2022\)

\( - C_{2021}^{1009}{2^{1009}}\)

\( - C_{2018}^{1009}{2^{1009}}\)

\(C_{2020}^{1010}{2^{1010}}\)

\( - C_{2022}^{1011}{2^{1011}}\)

Giải thích

Xét khai triển:

\({\left( {1 - x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - x} \right)}^k}} \)

\( = C_n^0 - C_n^1.x + C_n^2.{x^2} - C_n^3.{x^3} + ... + {\left( { - 1} \right)^k}.{x^k}.C_n^k + ... + C_n^2.{\left( { - x} \right)^n}\)

Lấy đạo hàm cả hai vế ta được:

\( - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} = - C_n^1 + 2.C_n^2.x - 3.{x^2}.C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}.k.{x^{k - 1}}.C_n^k + ... - C_n^n.n.{\left( { - x} \right)^{n - 1}}\)

\( \Rightarrow n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 - 2.x.C_n^2 + 3.{x^2}.C_n^3 - ... - {\left( { - 1} \right)^k}.k.{x^{k - 1}}.C_n^k - ... + C_n^n.n.{\left( { - x} \right)^{n - 1}}\)

Cho \(x = 2\) ta được

\(n.{\left( { - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^1 - 2.2.C_n^2 + {3.2^2}.C_n^3 - {4.2^3}.C_n^4 + {5.2^4}.C_n^5 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}.n{.2^{n - 1}}.C_n^n\)

\( \Leftrightarrow n.{\left( { - 1} \right)^{n - 1}} = - 2022 \Leftrightarrow n = 2022\)

Xét khai triển: \({\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{2020}} = \sum\limits_{k = 0}^{2022} {C_{2022}^k.{x^{2022 - k}}.{{\left( {\frac{{ - 2}}{x}} \right)}^k}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{2022} {C_{2022}^k.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{2022 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với: \(2022 - 2k = 0\)

\( \Leftrightarrow k = 1011\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) là: \( - C_{2022}^{1011}{.2^{1011}}\)

Đáp án D.