Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x )
19/22
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] \[\left( {a \ne 0} \right)\]có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4}}\).
Điều kiện \(x \ge 0\). Từ đồ thị, ta có \(a > 0\).
Ta có \(f\left( x \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = \alpha \,\,\left( {\alpha > 1} \right)}\end{array}} \right.\) trong đó \(x = - 1\) là ngiệm kép.
Suy ra \(f\left( x \right) - 4 = a{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - \alpha } \right)\).
Do đó \(f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4 = a{x^4}\left( {{x^2} - 1 - \alpha } \right)\)
\( \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4}} = \frac{{\sqrt x }}{{a{x^4}\left( {{x^2} - 1 - \alpha } \right)}}\)\( = \frac{1}{{a{x^3}\sqrt x \left( {x - \sqrt {1 + \alpha } } \right)\left( {x + \sqrt {1 + \alpha } } \right)}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{a{x^3}\sqrt x \left( {x - \sqrt {1 + \alpha } } \right)\left( {x + \sqrt {1 + \alpha } } \right)}} = - \infty \) nên \(x = 0\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = g\left( x \right)\).
Đường thẳng \(x = \sqrt {1 + \alpha } \) cũng là một đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = g\left( x \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(2\) đường tiệm cận đứng.
Đáp án: \(2\)