Tìm số cạnh của đa giác đó?

Giả sử đa giác có \(n\) cạnh (\(n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 3\)).

Gọi độ dài các cạnh của đa giác là \({u_1},\,{u_2},\,{u_3},\,...\,,\,{u_n}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm nên \(0 < {u_1} < {u_2} < \,{u_3} < \,...\, < \,{u_n} = 44\;{\rm{cm}}\).

Vì đa giác có chu vi là \[158\;{\rm{cm}}\] nên \[{S_n} = {u_1} + {u_2} + \,{u_3} + \,...\, + \,{u_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\]

hay \[158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}\] suy ra \[n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}\]

Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \[{u_1} + 44\] là ước nguyên dương của \[316\] hay \[{u_1} + 44 \in \left\{ {2;\,\,4;\,\,79;\,\,158;\,\,316} \right\}\].

\[{u_1} + 44\]	\(2\)	\(4\)	\(79\)	\(158\)	\(316\)
\[{u_1}\]	\[{u_1} < 0\] (loại)	\[{u_1} < 0\](loại)	\[{u_1} = 35\]	\[{u_1} = 114\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44\;{\rm{cm}}\))	\[{u_1} = 272\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44\;{\rm{cm}}\))

Vậy đa giác đã cho có \[n = \frac{{316}}{{79}} = 4\] cạnh.