Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y^2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8).

Lời giải

y²=x(x+1)(x+7)(x+8)⟺y²= (x² + 8x)( x² + 8x + 7)

Đặt t = x² + 8x, ta có: y²= t(t + 7) = t² + 7t

⟺ 4y² = 4t² + 28t + 49 – 49

⟺ (2t + 7)² – 4y² = 49

⟺ (2t + 7 – 2y)(2t + 7 + 2y) = 49 = 7.7

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 7 - 2y = 7\\2t + 7 + 2y = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + 16x + 7 - 2y = 7\\2{x^2} + 16x + 7 + 2y = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + 16x - 2y = 0\\2{x^2} + 16x + 2y = 0\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: (–8; 0), (0; 0).