Nếu xếp 51 ngôi sao thành 3 hàng, mỗi hàng gồm 17 ngôi sao thì không đạt yêu cầu cả về phương diện hiện thực lẫn phương diện thẩm mĩ. Phương án xếp các ngôi sao thành từng hàng trong khung hình chữ nhật phải đáp ứng các yêu cầu sau:

1. Số các ngôi sao trong hai hàng liền kể nhau sai khác ít tới mức có thể được, tức là bằng nhau hoặc chỉ hơn kém nhau một ngôi sao.

2. Số các hàng chẵn và số các hàng lẻ sai khác ít tới mức có thể được, tức là số các hàng chẵn bằng số các hàng lẻ hoặc sai khác 1.

Đặt x là số các hàng, mỗi hàng có r sao và y là số các hàng, mỗi hàng có s sao, ta cần có:

xr+ys=51r−s=1

Xảy ra 2 trường hợp:

a) Nếu x=y thì x(s+1)+xs=51.

Suy ra: x=512s+1.

Vì 51=3x17 và x là số nguyên nên mẫu số 2s+1 chỉ có thể là 1, hoặc 3 hoặc 17 hoặc 51.

Nếu x=51 thì s=0,

Nếu x=17 thì s=1,

Nếu x=1 thì s=25.

Các trường hợp này đếu không đạt.

Còn với x=3 thì s=8 kéo theo y=3 và r=9.

Lúc đó, 51=3x9+3x8. Lá cờ với 51 ngôi sao có thể được xếp thành 3 hàng 9 ngôi sao và 3 hàng 8 ngôi sao. Ý định này quả thực có thể được chấp nhận để sắp xếp cho lá cờ trong tương lai.

b) Nếu x−y=1 thì phương trình trên trở thành:

x(s+1)+(x−1)s=51 hay 2xs+x=51+s, mà x=51+s2s+1 là một số nguyên. Suy ra 2s+512s+1 cũng là một số nguyên, tức là 2s+1+1012s+1=1+1012s+1 cũng là số nguyên. Vì 101 là số nguyên tố nên chỉ có thể s=50 hoặc s=0. Cả hai trường hợp này đều bị loại. Như vậy chỉ có thể sử dụng phương án như ở trường hợp a).

Điều gì xảy ra vào thời điểm năm 1960 có thêm bang Hawaii, số bang tăng từ 49 lên 50? Dĩ nhiên có thể sắp xếp 50 ngôi sao thành 5 hàng 10 ngôi sao hoặc 2 hàng 25 ngôi sao, nhưng cả hai phương án đó đều không phù hợp với tính thẩm mĩ.

Sử dụng các biến như đã nêu ở trên, trong trường hợp a), ta có:

xr+ys=50r−s=1

Và x=y, suy ra x(s+1)+xs=50 hay x=502s+1=2.5.52s+1.

Vì 2s+1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên nó chỉ có thể là 5 hoặc 25 từ đó s=2 hoặc s=12.

· Nếu s=2 thì x=y=10 và r=3, điều này tạo ra hình ảnh một khung hình chữ nhật “quá cao”, có 10 hàng 3 ngôi sao và 10 hàng 2 ngôi sao!

· Nếu s=12 thì x=y=2 và r=13 thì ta cũng nhận được một phương án không đạt.

Ta xét trường hợp b).

Từ xr+ys=50r−s=1 và x−y=1 suy ra x(s+1)+(x−1)s=50.

Suy ra 2xs+x=50+s hay x=50+s2s+1 là một số nguyên, nên

250+s2s+1=2s+1+992s+1=1+992s+1 cũng là số nguyên.

Ta có bảng các giá trị của s, r, x, y như sau:

Ngày 4/4/1918, một đạo luật của quốc hội Hoa Kỳ cho phép thêm một ngôi sao vào lá cờ khi (ảnh 1)

Hai cột thứ nhất và thứ tư trong bảng giá trị trên cho phương án không đạt.

Hai cột thứ hai và thứ ba ứng với 50=5x6+4x5 chính là phương án sắp xếp lá cờ hiện nay và nó đã được chấp nhận.

Tìm một ứng dụng sắp xếp theo kiểu như hình 4 nói trên tròn thực tế.