Tìm m để phương trình sau có nghiệm căn bậc hai x + căn bậc hai (9-x) = căn bậc hai (-x^2+9x+m)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ \[t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \], tìm điều kiện của \(t\).

- Sử dụng định lí Vi-ét tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{9 - x \ge 0}\\{ - {x^2} + 9x + m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 9}\\{ - {x^2} + 9x + m \ge 0}\end{array}} \right.\)

Ta có -x2+9⁢x+m≥0⇔ -x2+9⁢x≥ -m

⇒ -x2+9⁢x≥-m

Ta có: x⁢ +9-x⁢ =-x2+9⁢x+m

⇒(x⁢ +9-x)2= -x2+9⁢x+m

⇔x+9-x+2⁢-x2+9⁢x⁢⁢ =⁢ -x2+9⁢x+m

⇔2⁢-x2+9⁢x⁢⁢ +9=⁢ -x2+9⁢x+m

⇔(-x2+9⁢x)-2⁢-x2+9⁢x⁢ +m-9=0⁢(*)

Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \)⇒0≤t≤814⁢⇒0≤t≤92

Khi đó phương trình (*) trở thành \({t^2} - 2t + m - 9 = 0\) có nghiệm t∈[0;92].

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' \ge 0}\\{0 \le {t_1} + {t_2} \le 9}\\{{t_1}{t_2} \ge 0}\\{\left( {{t_1} - \frac{9}{2}} \right)\left( {{t_2} - \frac{9}{2}} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - m + 9 \ge 0}\\{0 \le 2 \le 9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\\{m - 9 \ge 0}\\{m - 9 - \frac{9}{2}.2 + \frac{{81}}{4} \ge 0}\end{array}} \right.\)⇔m≤10m≥9m≥ -94⇔9≤m≤10

Kết hợp điều kiện (1) ta có \(m \in \left[ {9;10} \right]\).