Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức: x 2 1 + x 2 2 = ( x 1 − 1 ) ( x 2 − 1 ) + 2.

Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có \(a = 1,\,\,b = - m - 1,\,\,c = m.\)

Ta có \(a + b + c = 1 - m - 1 + m = 0.\) Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = m.\)

Xét hệ thức \(x_1^2 + x_2^2 = \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) + 2\) ta thấy vai trò của \({x_1},\,\,{x_2}\) như nhau.

Khi đó, ta có:

\({1^2} + {m^2} = \left( {1 - 1} \right)\left( {m - 1} \right) + 2\)

\(1 + {m^2} = 0 \cdot \left( {m - 1} \right) + 2\)

\(1 + {m^2} = 2\)

\({m^2} = 1\)

\[m = 1\] hoặc \(m = - 1.\)

Vậy \(m \in \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)