Tìm m để hàm số y = x^3 − 3(2m + 1)x^2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Lời giải

Ta có y=x³ − 3(2m+1)x²+(12m+5)x+2

⇒ y' = 3x² − 6(2m+1)x+12m+5

Để hàm số y=x³ − 3(2m+1)x²+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m+1)x+12m+5 ≥ 0 (∀x > 2)

⇔ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}\).