Tìm m để hàm số y = x^ 3 − 2 m x ^2 + m x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1

Đáp số: \(m = 1\)

Ta có: \(y = {x^3} - 2m{x^2} + mx + 1\)\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + m\)

Vì \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số nên \(y'\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3 - 4m + m = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Thử lại với \(m = 1,\) ta có \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\); \(y' = 3{x^2} - 4x + 1\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.