Tìm m để (a) Phương trình x^2−2x+m=0 có hai nghiệm phân biệt dương. (b) Phương trình x^2+2x+m=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 3x1+2x2=1.

a) Xét phương trình \[{x^2} - 2x + m = 0\].

Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m.\]

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi

\[\Delta ' \ge 0\] hay \[1 - m \ge 0\] nên \[m \le 1.\]

Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = - 2\] và \[{x_1}{x_2} = m\].

Xét hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\].

Từ phương trình thứ nhất, ta có \[{x_2} = - 2 - {x_1}\] thay vào phương trình thứ hai ta được

\[3{x_1} + 2\left( { - 2 - {x_1}} \right) = 1\] hay \[3{x_1} - 4 - 2{x_1} = 1\] nên \[{x_1} = 5\] suy ra \[{x_2} = - 7.\]

Thay \[{x_1} = 5\] và \[{x_2} = - 7\] vào phương trình \[{x_1}{x_2} = m\], ta có:

\[m = 5.\left( { - 7} \right) = - 35\] (thỏa điều kiện \[m \le 1\]).

Vậy \[m = - 35\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Xét phương trình \[{x^2} - 2x + m = 0\].

Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m\,{\kern 1pt} ;\,\,\]\[\Delta ' = 1 - m\].

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} > 0\\S = - \frac{b}{a} > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m > 0\\2 > 0\end{array} \right.\], do đó \[0 < m < 1\].

Vậy để phương trình \[{x^2} - 2x + m = 0\] có hai nghiệm phân biệt dương thì \[0 < m < 1\].