Tìm kích thước của dầm gỗ bền nhất có thể được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 12 inch.

Từ đề bài suy ra công thức tính độ bền của dầm gỗ có dạng \(S = kw{d^2}\) với hằng số \(k > 0\) cố định nào đó (là hệ số tỉ lệ). Mặt khác, do \({d^2} + {w^2} = 144\) nên ta có \(S = kw\left( {144 - {w^2}} \right) = k\left( {144w - {w^3}} \right)\), \(0 < w < 12\).

Ta có: \(S' = k\left( {144 - 3{w^2}} \right);S' = 0 \Leftrightarrow w = 4\sqrt 3 \) (do \(w > 0\) ).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Vậy dầm gỗ có độ bền lớn nhất khi có chiều rộng \(w = 4\sqrt 3 \) inch và chiều sâu \(d = 4\sqrt 6 \) inch.