Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

ak=C20k.120−k.2k=C20k.2k, với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có ak≥ak+1ak≥ak−1

⇔C20k.2k≥C20k+1.2k+1C20k.2k≥C20k−1.2k−1.

⇔20!20−k!.k!≥20!.220−k−1!.k+1!20!20−k!.k!≥20!20−k+1!.k−1!.2

⇔120−k≥2k+12k≥121−k

⇔3k≥3942≥3k

⇔k≥13k≤14⇔13≤k≤14

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có a13=C2013.213=635  043  840. 

Với k = 14, ta có a14=C2014.214=635  043  840 .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.