Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm (ảnh 1)

a) ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

Suy ra: ΔABC vuông tại C.

⇒ AC² = AH.AB = (R – OH) . 2R = (4 – 1) . 2 . 4 = 24

⇔ AC = \(2\sqrt 6 \)(cm)

b) Xét tam giác vuông OHC và tam giác vuông OHD có:

Chung OH

OC = OD

Suy ra: ∆OHC = ∆OHD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ HC = HD

⇒ BH là là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao

⇒ ΔBCD cân tại B

Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C

CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H

Mà \(\widehat {CBH} = \widehat {EAC}\)(cùng phụ với \(\widehat {CAB}\))

Xét ∆CAE và ∆HBC có:

\(\widehat {ECA} = \widehat {CHB}\)= 90°

\(\widehat {EAC} = \widehat {CBH}\)(cùng bằng \(\frac{1}{2}\)cung AC)

Suy ra: ∆CAE ~ ∆HBC (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{HC}}\)

Mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến

⇒ BC = BD và HC = DH

Vậy \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{EC}}{{DH}}\).

c) ΔAOC cân tại O ⇒ \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)

mà \(\widehat {OAC} = \widehat {CEI}\) (cùng phụ với \(\widehat {EAC}\))

⇒ \(\widehat {OCA} = \widehat {CEI}\)

ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {CEI}\)

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {OCA}\)

Lại có \(\widehat {ICE} + \widehat {ICA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {ICA} + \widehat {OCA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {OCI}\)= 90°

⇒ CI là tiếp tuyến của (O)

⇒ \[\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\]= 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

d, Gọi G = IB ∩ HC

Ta có: CG // BF (cùng ⊥ AB)

\(\frac{{IC}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

AI // BF (cùng ⊥ AB)

⇒ \[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

Xét tam giác IAG và tam giác GBF có:

\[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

\(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

⇒ ΔAIG ᔕ ΔFBG (c.g.c)

⇒\[\widehat {IGA} = \widehat {BGF}\]

⇒ A, G, F thẳng hàng

⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G.

Tìm hai số có hiệu là 22. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi cộng với hiệu của chúng