Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau: a) a + b = 11 và a^2 + b^2 = 61; b) ab = 24; a^2 + b^2 = 73 và a > b.

a) Ta có (a + b)² = a² + 2ab + b² hay (a + b)² = (a² + b²) + 2ab

Suy ra 11² = 61 + 2ab

121 = 61 + 2ab.

2ab = 60

ab = 30.

Với a + b = 11, ab = 30 ta có a,b là hai nghiệm của phương trình x² ‒11x + 30 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)² ‒ 4.1.30 = 121 ‒ 120 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 1}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6;\]

\[{x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 1}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5.\]

Vậy a = 5; b = 6 hoặc a = 6; b = 5.

b) Ta có (a + b)² = a² + 2ab + b² = (a² + b²) + 2ab

                           = 73 + 2.24 = 73 + 48 = 121.

Suy ra a + b = 11 hoặc a + b = –11.

•Với a + b = 11 và ab = 24, ta có a,b là nghiệm của phương trình x² ‒11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)² ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 5}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8;\]

\[{x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 5}}{2} = \frac{6}{2} = 3.\]

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = 8; b = 3.

•Với a + b = –11 và ab = 24, ta có a,b là nghiệm của phương trình x² + 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = 11² ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 + 5}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 - 5}}{2} = \frac{{ - 16}}{2} = - 8.\]

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = ‒3; b = ‒8.

Vậy a = 8; b = 3 hoặc a = ‒3; b = ‒8.