Tìm giới hạn A = lim x → 1 x n − 1 x m − 1 , m , n ∈ N ∗ :

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Tìm giới hạn \[{\rm{A}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}}} - 1}}{{{{\rm{x}}^{\rm{m}}} - 1}},{\rm{m}},{\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]:

\( + \infty \)

\[\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}\]

\[\frac{{\rm{n}}}{{\rm{m}}}\]

Giải thích

Ta có

\[{\rm{A = }}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{m}}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} \frac{{{\rm{(x}} - {\rm{1)(}}{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{2}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + x + 1)}}}}{{{\rm{(x}} - {\rm{1)(}}{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - {\rm{2}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - {\rm{3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + x + 1)}}}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{2}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + x + 1}}}}{{{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - {\rm{2}}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{{\rm{m}} - 3}}{\rm{ + }}...{\rm{ + x + 1}}}} = \frac{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}} = \frac{{\rm{n}}}{{\rm{m}}}\]

Chọn đáp án D

Đáp án cần chọn là: D