Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: a) A = 4x^2 ‒ 4x + 2^3; b) B = 25x^2 + y2 + 10x ‒ 4y + 2.
Giải thích
Lời giải
a) Ta có: A = 4x2‒ 4x + 23 = (4x2 ‒ 4x + 1) + 22 = (2x ‒ 1)2 + 22.
Mà (2x ‒ 1)2 ≥ 0 với mọi x
⇒(2x ‒ 1)2 + 22 ≥ 22 với mọi x.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 22 khi 2x ‒ 1 = 0 hay \(x = \frac{1}{2}\).
b) Ta có: B = 25x2 + y2 + 10x ‒ 4y + 2
= (25x2 + 10x + 1) + (y2 ‒ 4y + 4) ‒ 3
= (5x + 1)2 + (y ‒ 2)2 ‒ 3.
Mà (5x + 1)2 ≥ 0; (y ‒ 2)2 ≥ 0 với mọi x và y
⇒(5x + 1)2 + (y ‒ 2)2 ‒ 3 ≥ ‒3 với mọi x vày.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là –3 khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{5}\\y = 2\end{array} \right.\).