Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(X) = căn bậc hai (x^2 - 2x + ) trên [ - 2;10]

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;10} \right]\).

Ta tính đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 5} }}\).

Xét phương trình đạo hàm bằng 0: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\quad \left( {{\rm{th/m\~a n\;}}1 \in \left[ { - 2;10} \right]} \right)\).

Tính các giá trị của hàm số tại các đầu mút và tại điểm cực trị:

• Tại \(x = - 2\): \(f\left( { - 2} \right) = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 5} = \sqrt {4 + 4 + 5} = \sqrt {13} \).
• Tại \(x = 1\): \(f\left( 1 \right) = \sqrt {{1^2} - 2 \cdot 1 + 5} = \sqrt {1 - 2 + 5} = \sqrt 4 = 2\).
• Tại \(x = 10\): \(f\left( {10} \right) = \sqrt {{{10}^2} - 2 \cdot 10 + 5} = \sqrt {100 - 20 + 5} = \sqrt {85} \).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(2\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;10} \right]} f\left( x \right) = 2\) tại \(x = 1\).