Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: d) D = ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x^ 2 − 8 x + 17 ) .

d) \(D = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\)

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 1} \right]\)

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 1} \right]\)

Đặt \(t = x - 4\) suy ra \(x - 3 = t + 1\) và \(x - 5 = t - 1\).

Khi đó, ta có:

\(D = \left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)\)\( = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^4} - 1.\)

Vì \({t^4} \ge 0\) với mọi \(t\) nên \(D \ge - 1\).

Dấu xảy ra khi \(t = 0\) hay \(x = 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D\) là \( - 1\) khi \(x = 4\).