Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: c) C = x ^2 − 2 x y + 2 y ^2 + 2 x − 10 y + 17 .
Giải thích
c) \[C = {x^2} - 2xy + 2{y^2} + 2x - 10y + 17\]
\[ = {x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} + 2x - 10y + 17\]
\[ = {\left( {x - y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x - y} \right) \cdot 1 + 1 + {y^2} - 8y + 16\]
\( = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + \left( {{y^2} - 8y + 16} \right)\)
\( = {\left( {x - y + 1} \right)^4} + {\left( {y - 4} \right)^2}\).
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\) hay \(C \ge 0.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x - y + 1 = 0\) và \(y - 4 = 0\), hay \(x = 3,\,\,y = 4\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C\) là \(0\) khi \(x = 3,\,\,y = 4\).