Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: b) B = x ^2 + 4 x y + 5 y ^2 − 6 y + 11 .
Giải thích
b) \[B = {x^2} + 4xy + 5{y^2} - 6y + 11\]
\( = \left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right) + {y^2} - 6y + 11\)
\[ = {\left( {x + 2y} \right)^2} + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + 2\]
\( = {\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2\).
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \({\left( {x + 2y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\) hay \(B \ge 2.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x + 2y = 0\) và \(y - 3 = 0\) hay \(x = - 6;\,\,y = 3.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\) là \(2\) khi \(x = - 6;\,\,y = 3.\)