Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = ( y + 1 ) ^2 + ( y − 2 ) ^2 + ( y − 3 ) ^2 − ( y + 4 ) ^2 .

a) \(A = {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2}\)

\( = {y^2} + 2y + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {y^2} - 6y + 9 - \left( {{y^2} + 8y + 16} \right)\)

\( = 2{y^2} - 16y - 2\)

\( = 2\left( {{y^2} - 8y} \right) - 2\)

\( = 2\left( {{y^2} - 8y + 16} \right) - 32 - 2\)

\( = 2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34\)

Vì \({\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \(2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34 \ge - 34\), suy ra \(A \ge - 34\).

Dấu xảy ra khi \(y = 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \( - 34\) khi \(y = 4\).