Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3 x + 3 y + 2 z √ 6 ( x 2 + 5 ) + √ 6 ( y 2 + 5 ) + √ ( z 2 + 5 ) .

\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)

\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}\)

\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}.\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {x + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2x + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right).\)

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2y + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right).\)

\[\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {z + x + y + z} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right).\]

Suy ra \(P \ge \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right)}} = \frac{{2\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{{9x + 9y + 6z}} = \frac{2}{3}.\)

Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}z + x = y + z\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\xy + yz + zx = 5\end{array} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{2x = z}\\{xy + yz + zx = 5}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\)  (do \(x,y,z\) là các số thực dương).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = y = 1,\,\,z = 2.\)