Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 9 x ^2 + 6 y ^2 + 18 x − 12 x y − 12 y − 27 .

Hướng dẫn giải

Ta có \[M = 9{x^2} + 6{y^2} + 18x - 12xy - 12y - 27\]

\[ = 9{x^2} + 6{y^2} + 18x - 12xy - 12y - 27\]

\[ = 9{x^2} + 18x - 12xy + 9 - 12y + 4{y^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = 9{x^2} + 2 \cdot 3x\left( {3 - 2y} \right) + {\left( {3 - 2y} \right)^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = {\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = {\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} + 2{y^2} - 36 \ge - 36\] (vì \[{\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} \ge 0\]; \[2{y^2} \ge 0\]).

Dấu khi \[{\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} = 0\] và \[2{y^2} = 0\], do đó \[x = - 1\] và \[y = 0\].

Vậy giá trị nhỏ nhất củabiểu thức \[M\]là \[ - 36\] khi \[x = - 1\] và \[y = 0\].