Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ( x ; y ) = x − y với điều kiện x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y − 3 ≤ 0 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((0;1)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:y = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((1;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \((0;3)\) và \((3;0)\).

Xét điểm \(M(1;1)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(OAB\) bao gồm cả các cạnh \(OA,OB\) và \(AB\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B\).

Điểm \(O = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(O\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(O(0;0)\).

Điểm \(A = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là

nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).

Điểm \(B = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;0)\).

Ta thấy \(F = x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B\).

Tại \(O(0;0)\) thì \(F = 0\).

Tại \(A(0;3)\) thì \(F =  - 3\)

Tại \(B(3;0)\) thì \(F = 3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - y\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là -3

khi \(x = 0,y = 3\).