Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 3 y − 2 x trên miền xác định bởi hệ x − y ≤ 6 ; y − 2x ≥ 2; x + y ≤ 4 .

17/22

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y \le 6}\\{y - 2x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$. Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - y - 6 = 0$ đi qua hai điểm $(0; - 6)$ và $(6;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x - 2 = 0$ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(2;2)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 4 = 0$ đi qua hai điểm $(0;4)$ và $(4;0)$.

Xét điểm $M(3;0)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $ABC$ bao gồm cả các cạnh $AB,BC$ và $AC$ trên hình vẽ).

$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y \le 6}\\{y - 2x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$. (ảnh 1)$

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Điểm $A = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(2;2)$.

Điểm $B = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(5; - 1)$

Điểm $C = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(2; - 4)$.

Ta thấy $F = 3y - 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A(2;2)$ thì $F = 2$.

Tại $B(5; - 1)$ thì $F = - 13$

Tại $C(2; - 4)$ thì $F = - 16$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là -16 khi $x = 2,y = - 4$.