Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 2x^2 + y^2 - 6x + 2xy - 2y + 7

Ta có \[D = 2{x^2} + {y^2} - 6x + 2xy - 2y + 7\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {4{x^2} + 2{y^2} - 12x + 4xy - 4y + 14} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + \left( {4{x^2} + {y^2} + 9 + 4xy - 12x - 6y} \right)} \right] + 2\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {2x + y - 3} \right)}^2}} \right] + 2 \ge 2\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\,;\,\,y = - 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(D\) là 2 khi \(x = 2\,;\,\,y = - 1.\)