Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

Đặt: AD = x; AE = y ⇒SADE=12xy (x, y > 0)

Ta có: DE=AD2+AE2=x2 + y2 (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2R⇒x + y + x2+y2 = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y ≥2xy và x2 + y2≥2xy (7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra:2xy+2xy≤2R⇔xy2+2≤2R

⇔xy≤2R2+2⇔xy≤2R23+22⇒  SADE ≤R23+22⇔SADE≤3 - 22R2.

Vậy max SADE =3−22R2⇔  x = y ⇔∆ADE cân tại A