Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau c) C = − x ^2 + 2 x y − 4 y ^2 + 2 x + 10 y − 3 .

c) \[C = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3\]

\[ = - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 3{y^2} + 2x + 10y - 3\]

\[ = - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {x - y} \right) \cdot 1 + 1} \right] - 3{y^2} + 12y - 2\]

\[ = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 10\]

\[ = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\].

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \[{\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\]

Suy ra \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\] hay \(C \le 10.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - y - 1 = 0\) và \(y - 2 = 0\) hay \(x = 3,\,\,y = 2.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(C\) là \(10\) khi \(x = 3,\,\,y = 2.\)