Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau b) B = − 7 x^ 2 − 4 y ^2 − 8 x y + 18 x + 9 .
Giải thích
b) \[B = - 7{x^2} - 4{y^2} - 8xy + 18x + 9\]
\( = - \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) - 3{x^2} + 18x + 9\)
\( = - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 36\)
\( = - 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} + 36\).
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) nên \( - 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\)
Suy ra \( - 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} + 36 \le 36\) hay \(B \le 36.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x + y = 0\) và \(x - 3 = 0\) hay \(x = 3,\,\,y = - 3.\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \(36\) khi \(x = 3,\,\,y = - 3.\)