Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau a) A = ( x^ 2 − 2 ) ^2 + 2 ( x − 1 ) ^2 + ( 2 − x ^2 ) ( 2 + x ^2 ) .

a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4 - {x^4}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2{x^2} - 4x + 2 + 4 - {x^4}\]

\[ = - 2{x^2} - 4x + 10\]\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x + 1 - 6} \right)\]\[ = - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12.\]

Với mọi \(x\), ta luôn có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\] nên \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\], suy ra \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12 \le 12\]

Do đó \(A \le 12.\) Dấu xảy ra khi \[x = - 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(12\) khi \(x = - 1\).