Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x(can12 - 3x^2) + 1 - x^2, với x là số thực thỏa mãn 0<x<2

Ta có \(P = x\left( {\sqrt {12 - 3{x^2}}  + 1 - {x^2}} \right) = x\sqrt {12 - 3{x^2}}  + x - {x^3}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(x\sqrt {12 - 3{x^2}}  = \frac{{2 \cdot 3x\sqrt {12 - 3{x^2}} }}{6} \le \frac{{9{x^2} + 12 - 3{x^2}}}{6} = {x^2} + 2\).

Suy ra \[P \le {x^2} + 2 + x - {x^3} =  - {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + 3 \le 3\].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\).