Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải:

\((2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3)(2 + 1 + 3) \ge {(2{\rm{x}} + y + 3)^2}\) (BĐT Bunhia-copxki)

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3} }} \le \frac{{\sqrt 6 }}{{2{\rm{x}} + y + 3}}\)

Mà \(\frac{1}{{2{\rm{x}} + y + 3}} = \frac{1}{{x + x + y + 1 + 1 + 1}} \le \frac{1}{{36}}(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 3)\)

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3} }} \le \frac{{\sqrt 6 }}{{36}}\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} + 9} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{{36}}.18 = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.

Vậy MaxP = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\) khi x = y = z = 1.