Câu 50: Hình chóp có đáy là tam giác vuông tại với và với là trung điểm Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Tính cos góc giữa hai mặt phẳng và . (ảnh 1)

Do tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC và ACB^=600 nên tam giác ABD đều cạnh a và BC=2a,CA=a3.

Dựng SH⊥ABC với H∈ABC.

⇒H là tâm tam giác đều BAD do SA=SB=SD.

Gọi hình chiếu của H lên AB,AC thứ tự là E,F.

Gọi M là trung điểm đoạn BD.

⇒AM=BA2−BM2=a2−a24=a32.

⇒AH=23AM=a33 và HE=HM=AM3=a36.

Ta có: SH⊥BC,AM⊥BC nên BC⊥SAM.

Kẻ MN⊥SAN∈SA thì MN là đường vuông góc chung của SA và BC hay MN=3a4.

⇒NA=MA2−MN2=a34.

Trong tam giác SAM có MN,SH là hai đường cao nên AH.AM=AN.AS.

⇒AS=AH.AMAN=2a33⇒SH=SA2−AH2=a.

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại A và các trục tọa độ như hình vẽ với tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AC và tia Oz vuông góc với mặt phẳng ABC và có hướng theo HS→. Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng a.

Khi đó: A0;0;0,B1;0;0,C0;3;0.

Do HF=AE=a2,HE=HM=a36 và SH=a nên S12;36;1.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng SAC là

n1→=AC→,AS→=3;0;−32.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng SBC là

n2→=BC→,SC→=−3;−1;−33.

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC, ta có:

cosα=cosn1→;n2→=n1→.n2→n1→.n2→=6513.

Chọn đáp án C.

Tìm độ dài đường kính của mặt cầu S có phương trình x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 4z + 2 = 0