Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = ln ( √ x 2 + 4 − x ) . Từ đó, tìm ∫ 1 √ x 2 + 4 d x .

6/8

Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = \[\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right)\]. Từ đó, tìm \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có:

\[F'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right)} \right]^\prime }\]

\[ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}.{\left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right)^\prime }\]

\[ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}.\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1} \right)\]

\[ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} - x}}.\frac{{x - \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\]

\[ = - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{R}} \right).\]

Suy ra \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} dx = \int {\left[ { - F'\left( x \right)} \right]dx = - \int {F'\left( x \right)dx} } \]

= \[ - F\left( x \right) + C = - \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right) + C.\]

Vậy \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} = - \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right) + C.\]