Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = √ 4 x + 1 . Từ đó, tính tích phân 1 ∫ 0 1 √ 4 x + 1 d x .

Ta có: F(x) = \[\sqrt {4x + 1} \]

           \[F'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }},x >  - \frac{1}{4}\].

Nhận thấy \[\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }} = \frac{{F'\left( x \right)}}{2}\].

Do đó \[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{F'\left( x \right)}}{2}dx} \]

                                 \[ = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {F'\left( x \right)dx = \left. {\frac{1}{2}F\left( x \right)} \right|_0^1} \]

                                \[ = \frac{1}{2}\left[ {F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right).\]