Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x - 3 thì dư 7,

Vì thức \[f\left( x \right)\] biết \[f\left( x \right)\] chia cho \[x - 3\]thì dư 7, \[f\left( x \right)\]chia cho \[x - 2\]thì dư 5, ta có:

\(f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right) \cdot P(x) + 7\) (1)

\(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right) \cdot Q(x) + 5\) (2)

\[f\left( x \right)\] chia cho \[\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\]thì được thương là \[3x\] và còn dư, ta có:

\[f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).\left( {x - 3} \right).3x + ax + b\] (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

Với \[x = 2\]thì \[a \cdot 2 + b = 5\] (4)

Cho\[x = 3\] thì\[a \cdot 3 + b = 7\] (5)

Từ (4) và (5) tìm được \[a = 2,\,\,b = 1\].

Vậy đa thức \[f(x) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \cdot 3x + 2x + 1\]\[ = 3{x^3} - 15{x^2} + 20x + 1\].