Tìm chiều cao h ( c m ) sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Đáp số: 3.

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\,\left( {cm,\,x > 0} \right)\) và chiều cao là \(h\,\left( {cm,\,h > 0} \right)\).

Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({x^2} + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\).

Thể tích của hình hộp là \(V = {x^2}.h = {x^2}.\frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\)

\(V' = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\)

\(V' = 0 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 0\) ).

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy \(x = 6\,\left( {cm} \right)\).

Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac{{108 - {6^2}}}{{4.6}} = 3\,\left( {cm} \right)\).