Tìm các số tự nhiên n để mỗi cặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1 ) . b) n + 3 và 6n + 1 .

b) Gọi ƯCLN\(\left( {n + 3,\,\,6n + 1} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {6n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(6\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {6n + 18} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \[\left[ {\left( {6n + 18} \right) - \left( {6n + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[17\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,17} \right\}.\]

Để \(18n + 3\) và \(21n + 7\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 17,\) tức là \(\left( {n + 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,17\) suy ra \(n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy \(n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(n + 3\) và \(6n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.