Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) y = x^3 – 9x^2 – 48x + 52; b) y = −x^3 + 6x^2 + 9.

a) y = x³ – 9x² – 48x + 52

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 18x – 48

           y' = 0 ⇔ 3x² – 18x – 48 = 0 ⇔ x = 8 hoặc x = −2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (8; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 8).

Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và y_CĐ = y(−2) = 104.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 8 và y_CT = y(8) = −396.

b) y = −x³ + 6x² + 9

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −3x² + 12x

           y' = 0 ⇔ −3x² + 12x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 4).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 4 và y_CĐ = y(4) = 41.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y_CT = y(0) = 9.