Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\).

Có \(y' = 2x - \frac{4}{{3 - x}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x - 4}}{{3 - x}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = 1 + 4\ln 2\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) và .

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }},\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Có \(y' = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin D\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.