Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau: a) f ( x ) = − x^3 + 3x^2

a)Xét hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(f'(x) = - 3{x^2} + 6x;f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} = 0\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) và .

b) Xét hàm số \(g(x) = x + \frac{1}{x}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

Ta có \(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\).

Vì \({x^2} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x)\) cùng dấu với \({x^2} - 1\).

Ta có \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1; + \infty )\), nghịch biến trên các khoảng \(( - 1;0)\) và \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) và .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = 2\).

c) Xét hàm số \(h(x) = {x^3}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(h'(x) = 3{x^2};h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(h(x) = {x^3}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.