Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) y = x^4 – 2x^2 + 3; b) y = x^2lnx.

a) y = x⁴ – 2x² + 3

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 4x³ – 4x

           y' = 0 ⇔ 4x³ – 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và tại x = −1 và y_CT = y(1) = y(−1) = 2.

b) y = x²lnx

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y' = 2xlnx + x = x(2lnx + 1)

           y' = 0 ⇔ x(2lnx + 1) = 0 ⇔ x = \({e^{ - \frac{1}{2}}}\).

Từ đây ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = \({e^{ - \frac{1}{2}}}\) và y_CT = y\(\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\) = \( - \frac{1}{{2e}}\).