Tìm các hàm số f( x ) biết rằng f'(x)=cosx/(2+sinx)^2

11/150

Tìm các hàm số \(f\left( x \right)\) biết rằng f'⁢(x)=cos⁢x(2+sin⁡x)2.

\(f\left( x \right) = \frac{{{\rm{sin}}{\mkern 1mu} x}}{{{{\left( {2 + {\rm{cos}}{\mkern 1mu} x} \right)}^2}}} + C\)

f⁢(x)= -12+sin⁡x+C

\(f\left( x \right) = \frac{{\sin {\mkern 1mu} x}}{{2 + \sin {\mkern 1mu} x}} + C\)

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{2 + {\rm{cos}}{\mkern 1mu} x}} + C\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt \(u = 2 + \sin x\).

Giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \frac{{{\rm{cos}}{\mkern 1mu} x}}{{{{\left( {2 + \sin {\mkern 1mu} x} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{{\rm{cos}}{\mkern 1mu} x}}{{{{\left( {2 + \sin {\mkern 1mu} x} \right)}^2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đặt \(u = 2 + \sin {\mkern 1mu} x \Rightarrow du = {\rm{cos}}{\mkern 1mu} xdx\)

⇒∫cos⁢x(2+sin⁡x)2⁢𝑑x=∫d⁢uu2⁢⁢ =⁢ -1u+C= -12+sin⁡x+C

⇒f⁢(x)= -12+sin⁡x+C