Tìm các giới hạn sau:

a) Ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \({n^3}\): \(\lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{5{n^3} - {n^2} + n}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{5 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\).

Vì \(\lim \frac{2}{{{n^2}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\), nên ta có: \(\lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{5{n^3} - {n^2} + n}} = \frac{{1 - 0}}{{5 - 0 + 0}} = \frac{1}{5}\).

b) Ta chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\): \(\lim \frac{{{6^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 3 \cdot {6^n}}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{6}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{6}} \right)}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 3}}\).

Vì \(\left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\) và \(\left| {\frac{1}{3}} \right| < 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\) và \(\lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\). Do đó: \(\lim \frac{{{6^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 3 \cdot {6^n}}} = \frac{{1 - 0}}{{0 + 3}} = \frac{1}{3}\).