Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a)\[\frac{2}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1

Để \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 2 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(2) = {±1; ±2}.

Ta có bảng:

x - 1	-2	-1	1	2
x	-1 (thoả mãn)	0 (thoả mãn)	2 (thoả mãn)	3 (thoả mãn)

Vậy với x Î {-1; 0; 1; 2; 3} thì biểu thức \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên

b)\[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1.

Ta có: \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\].

Để nhận giá trị nguyên thì 1 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(1) = {±1}.

Ta có bảng:

x - 1	-1	1
x	0 (thoả mãn)	2

Vậy với x Î {0; 2}\[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] thì biểu thức \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên.

c) \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] có điều kiện là x ³ 0

\[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\]

Để \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 3 ⋮\[\left( {\sqrt x + 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 3 \right) = {\rm{\{ }} \pm 1;\,\, \pm 3\} \].

Ta có bảng:

\[\sqrt x + 1\]	-3	-1	1	3
\[\sqrt x \]	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thoả mãn)	4 (thoả mãn)

Vậy với x Î {0; 4} thì biểu thức \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên.