Tìm các điểm trên elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải thích
Hướng dẫn giải
Xét điểm M có toạ độ là (x; y).
+) Xét khoảng cách từ M đến F1.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF1 = a + cax.
Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a
⇒ca.(−a)≤cax≤ca.a⇒−c≤cax≤c⇒a−c≤a+cax≤a+c.
Vậy a – c ≤ MF1 ≤ a + c.
Vậy độ dài MF1 nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.
+) Xét khoảng cách từ M đến F2.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF2 = a – cax.
Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a
⇒ca.(−a)≤cax≤ca.a⇒−c≤cax≤c⇒c≥−cax≥−c⇒a+c≥a+cax≥a−c.
Vậy a + c ≥ MF2 ≥ a – c.
Vậy độ dài MF2 nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.