Tìm các chữ số a, b, c, d sao cho tổng abc + dba chia hết cho aa và được thương là

Ta có abc¯+dba¯:aa¯=aa¯ nên abc¯+dba¯=aa¯.aa¯=121a.a

Vì abc¯+dba¯<2000 nên a.a.121 < 2000

Suy ra a.a < 17 nên a ∈ {1; 2; 3; 4}.

TH1. a = 1, ta có: abc¯+dba¯=1.1.121=121<2000

Mà abc¯+dba¯ không thể nhỏ hơn 200 nên loại.

TH2. a = 2, ta có: abc¯+dba¯=2.2.121=484<2000

Ở hàng đơn vị ta có c + 2 = 4 thì c = 2

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 2 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 1.

Vậy a = 2, b = 4, c = 2, d = 2 hoặc a = 2, b = 9, c = 2, d = 2.

TH3. a = 3, ta có: abc¯+dba¯=3.3.121=1089<2000

Ở hàng đơn vị ta có c + 3 = 9 thì c = 6

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 7 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 6.

Vậy a = 3, b = 4, c = 6, d = 7 hoặc a = 3, b = 9, c = 6, d = 6.

TH4. a = 4, ta có: abc¯+dba¯=4.4.121=1936<2000

Vì abc¯=4bc¯<500 và dba¯<1000. Do đó trường hợp này loại.